EQUAÇÃO GRACELI [37]

$w=f(z).$ pw / n! =

$w=f(z).$ pw / n! / $\zeta (s)\ =\ \sum _{{n=1}}^{\infty }\ {\frac {1}{n^{s}}}.$

Como todo número complexo pode ser escrito na forma $z=a+bi,$ em que $a=R(z),b=Im(z)$ indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa $w=f(z)$ na forma $f(z)=u(x,y)+iv(x,y).$ Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

$P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n},$ em que z é uma variável complexa, é uma função polinomial em variável complexa.

funçõs zeta Graceli composta :

$w=f(z).$ . ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = 1 / Pw / n!,] $\Gamma (z)$ / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ =

$w=f(z).$ pw / n! / $\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t^{\alpha }}}~;$ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = 1 / Pw / n!,] $\psi _{n}(z)$ / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ =

$w=f(z).$ pw / n! / $\sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{2\,p}}}=r_{p}\,\pi ^{{2\,p}}$ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = 1 / Pw / n!,] $\operatorname {Li} _{s}(z)$ / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ =

$w=f(z).$ pw / n! / $\zeta (s)\ =\ \sum _{{n=1}}^{\infty }\ {\frac {1}{n^{s}}}.$ ζ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = $n \choose k$ 1 / Pw / n!,] / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ =

$w=f(z).$ pw / n! / $\sum {1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.$ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = 1 / Pw / n!,] / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ =

$w=f(z).$ pw / n! / $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = [SAPR / Pw / n!,] / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ =

$w=f(z).$ pw / n! / $\sum _{{n_{1},\cdots ,n_{k}>0}}{\frac {1}{(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\ldots +n_{k}^{2})^{{\alpha /2}}}},$ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = [SAPR / PO / n!,] / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ =

$w=f(z).$ pw / n! / $f:x\mapsto {\frac {1}{x^{\alpha }\ln ^{\beta }x}}$ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = [SAPR / PO / n!,] / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q =

Pour $α$ un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : $S=\sum _{{n\geq 1}}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ .

La série harmonique en est un cas particulier, pour $α$ = 1 : $\sum _{{n\geq 1}}{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\ldots$

Convergence[modifier | modifier le code]

La série de Riemann de paramètre complexe $α$ converge absolument si $Re(α) > 1$ , et diverge si $Re(α) \leq 1$ .

En effet :

si $Re(α) \leq 0$ , la série est grossièrement divergente ;
la preuve de la convergence absolue pour $Re(α) > 1$ peut se faire par comparaison série-intégrale avec l'intégrale impropre associée :
$\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t^{\alpha }}}~;$
celle de la divergence pour $α \in ]0, 1]$ également ;
si $α = σ + i t$ avec $σ \in ]0, 1]$ et t réel non nul, il suffit d'affiner un peu la méthode.

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann.

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout $α$ entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour $p$ entier naturel non nul :

\sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{2\,p}}}=r_{p}\,\pi ^{{2\,p}}

, où

r_{p}

est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).

Par exemple $\sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad \sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{8}}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}.$

En revanche, on ne sait rien concernant les valeurs prises pour $α$ entier impair, hormis que pour $α$ = 3, la somme, appelée constante d'Apéry, est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).

Fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fonction zêta de Riemann.

La fonction zêta de Riemann $ζ$ est définie sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 par la série convergente :

\zeta (s)\ =\ \sum _{{n=1}}^{\infty }\ {\frac {1}{n^{s}}}.

Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Elle intervient dans l’étude de la répartition des nombres premiers dans le cadre de l’hypothèse de Riemann.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Les séries de Bertrand, de la forme $\sum {1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.$
Les séries de Dirichlet, de la forme $w=f(z).$ pw / n! /
$\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$
Les séries de Riemann multiples, de la forme $\sum _{{n_{1},\cdots ,n_{k}>0}}{\frac {1}{(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\ldots +n_{k}^{2})^{{\alpha /2}}}},$ Il y a convergence absolue si et seulement si $Re(α) > k$ .

Pesquisar este blog

EQUAÇÃO GRACELI [37]

Convergence[modifier | modifier le code]

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

Fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Généralisations[modifier | modifier le code]

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog